Question

7．已知{a_n}滿足a_n+1=a_n+2n，且a₁=33，則$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：{a_n}滿足a_n+1=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+33
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+33
=n²-n+33．
則$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+33}{n}$=n+$\frac{33}{n}$-1，
令f（x）=$x+\frac{33}{x}$，（x≥1），則f′（x）=1-$\frac{33}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-33}{{x}^{2}}$，在x∈$[1，\sqrt{33}）$上單調(diào)遞減；在x∈$（\sqrt{33}，+∞）$上單調(diào)遞增．
f（5）=5+$\frac{33}{5}$=$\frac{58}{5}$，f（6）=6+$\frac{33}{6}$=$\frac{23}{2}$＜f（5）．
∴n=6時(shí)，f（x）取得最小值，因此$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為$\frac{23}{2}-1$=$\frac{21}{2}$．
故答案為：$\frac{21}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．