Question

9．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{4}$，cosα+cosβ=$\frac{1}{3}$，則sin（α+β）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 先利用和差化積公式化簡已知，將兩式相除后，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求tan$\frac{α+β}{2}$，利用二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式即可化簡求值．

解答 解：∵sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{4}$，①
cosα+cosβ=2cos $\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{3}$，②
∴①÷②可得：tan $\frac{α+β}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{24}{25}$．
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查了和差化積公式，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．