Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（cosx，sinx）$，$\overrightarrow b=（3，-\sqrt{3}）$，記$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=3cosx-$\sqrt{3}$sinx=-2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的增區(qū)間．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，得-$\frac{π}{3}$$≤x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，由此能求出f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow a=（cosx，sinx）$，$\overrightarrow b=（3，-\sqrt{3}）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=3cosx-$\sqrt{3}$sinx
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx$）
=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-x）=-2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
∵$\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
∴f（x）的增區(qū)間為$[\frac{5π}{6}+2kπ，\frac{11π}{6}+2kπ]，k∈Z$．
（Ⅱ）∵x∈[0，π]，∴-$\frac{π}{3}$$≤x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴-2$\sqrt{3}≤f（x）≤3$，
∴f（x）的值域為[-2$\sqrt{3}$，3]．

點評 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查三角函數(shù)的值域的求法，考查向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)性質(zhì)、正弦函數(shù)加法定理等基礎(chǔ)知識，是中檔題．