Question

在△ABC中，2

AE

=3

EC

，

BD

=

1

3

BC

，且

AD

、

BE

交于點(diǎn)F，試用向量的方法求|

AF

|：|

FD

|．

Answer 1

考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：畫出圖形，結(jié)合圖形，設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

，由A、D、F三點(diǎn)共線，B、E、F三點(diǎn)共線，求出

AF

與

AD

的關(guān)系，即得|

AF

|：|

FD

|的值．

解答： 解：畫出圖形，如圖所示，
設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

，
∴

AE

=

3

5

b

，

CD

=

2

3

CB

=

2

3

（

AB

-

AC

）=

2

3

a

-

2

3

b

；
∴

BE

=

AE

-

AB

=

3

5

b

-

a

，
又A、D、F三點(diǎn)共線，
∴

AF

=m

AD

=m（

AC

+

CD

）=m（

b

+

2

3

a

-

2

3

b

）=

2

3

m

a

+

1

3

m

b

，
B、E、F三點(diǎn)共線，
∴

BF

=n

BE

，
即

AF

-

AB

=n（

AE

-

AB

），
∴

AF

=

AB

+n

AE

-n

AB

=（1-n）

a

+

3

5

n

b

；
∴

2 3 m=1-n 1 3 m= 3 5 n

，
解得m=

9

11

，n=

5

11

；
∴

AF

=

9

11

AD

，即|

AF

|=

9

11

|

AD

|；
∴|

AF

|：|

FD

|=9：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的線性表示的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)靈活應(yīng)用平面向量的線性表示，是中檔題．