Question

已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥6

3

，并確定a，b，c為何值時，等號成立．

Answer 1

分析：證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號成立的條件，因等號不成立不影響不等號的傳遞性．
證法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac與

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ac

兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質(zhì)與證法一同．

解答：證明：
（證法一）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得

a2+b2+c2≥3(abc) 2 3 1 a + 1 b + 1 c ≥3(abc)- 1 3

①
所以(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥9(abc)-

2

3

②（6分）
故a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥3(abc)

2

3

+9(abc)-

2

3

．
又3(abc)

2

3

+9(abc)-

2

3

≥2

27

=6

3

③
所以原不等式成立．（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，①式和②式等號成立．當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)

2

3

=9(abc)-

2

3

時，③式等號成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3

1

4

時，原式等號成立．（10分）
（證法二）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ac

所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
同理

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ac

②（6分）
故a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2③
≥ab+bc+ac+3

1

ab

+3

1

bc

+3

1

ac

≥6

3

所以原不等式成立．（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，①式和②式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3時，③式等號成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3

1

4

時，原式等號成立．（10分）

點(diǎn)評：考查放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，本題在用縮法時多次用到基本不等式，請讀者體會本題證明過程中不考慮等號是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據(jù)最值成立的條件求參數(shù)題型比較．深入分析等號成立的條件什么時候必須考慮，什么時候可以不考慮．