Question

已知?jiǎng)訄A與直線x=-1相切，且過(guò)定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)圓圓心為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=5（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線l過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義和題設(shè)中的條件可知點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，進(jìn)而求得拋物線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入到

OA

•

OB

=5求得x₁x₂+y₁y₂=5，把A，B坐標(biāo)代入拋物線方程進(jìn)而求得?y₁²y₂²=16x₁x₂②聯(lián)立方程求得y₁y₂和（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），進(jìn)而看當(dāng)x₁=x₂時(shí)，AB⊥x軸，進(jìn)而根據(jù)x₁²-y₁²=5和y₁²=4x₁求得x，即AB的方程；當(dāng)
x₁≠x₂，進(jìn)而求得AB的斜率，根據(jù)點(diǎn)A表示出AB的直線方程整理可知過(guò)定點(diǎn)（5，0），綜合結(jié)論可得．

解答：解：（1）由已知，點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)（1，0）的距離，所以點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=5可得：x₁x₂+y₁y₂=5①
∵A、B均在拋物線上，
∴

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2.

?y₁²y₂²=16x₁x₂②
由①②可得：y₁²y₂²=16（5-y₁y₂）即y₁²y₂²+16y₁y₂-80=0，
∴y₁y₂=-20或y₁y₂=4（舍去）
再由

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2.

相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
若x₁=x₂，則AB⊥x軸，y₂=-y₁，由①：x₁²-y₁²=5，結(jié)合y₁²=4x₁得：x₁=5，
∴此時(shí)AB的方程為x=5
若x₁≠x₂，則

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，即為直線AB的斜率，而A(

y 2 1

4

，y1)，則AB的方程為：y-y1=

4

y1+y2

(x-

y 2 1

4

)，
即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y=

4

y1+y2

(x-5)也過(guò)定點(diǎn)（5，0）
綜上得：直線AB過(guò)定點(diǎn)（5，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．涉及了直線與雙曲線的關(guān)系，解析幾何的知識(shí)，綜合性很強(qiáng)．