Question

求過(guò)點(diǎn)P（3，0）且與圓x²+6x+y²-91=0相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)，算出動(dòng)圓圓心到P（3，0）、Q（-3，0）的距離之和等于常數(shù)10，由此可得軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，利用橢圓的基本概念加以計(jì)算即可得到所求軌跡方程．

解答：解：將圓x²+6x+y²-91=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，
得（x+3）²+y²=100，圓心為Q（-3，0），半徑為r=10
設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，與定圓切于點(diǎn)A
∵圓C過(guò)點(diǎn)P（3，0），圓C與圓Q相內(nèi)切
∴|CQ|=|QA|-|CA|，
得|CQ|+|CA|=|CQ|+|CA|=|QA|=10（定值）
因此，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓
2a=10，c=3，可得b=

a2-c2

=4
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，即為動(dòng)圓圓心的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．