Question

6．求復(fù)合函數(shù)值域．
（1）f（x）=4^x-2^x+1
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6（1≤x≤25）
（4）y=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+6（$\frac{1}{5}$≤x≤2）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵2^x＞0，
∴f（x）=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
即函數(shù)的值域為[$\frac{3}{4}$，+∞）
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20=（3^x）²-3•3^x+20=（3^x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{71}{4}$，
∵3^x＞0，
∴f（x）=（3^x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{71}{4}$≥$\frac{71}{4}$，
即函數(shù)的值域為[$\frac{71}{4}$，+∞）
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6=（$\sqrt{x}$-2）²+2，
∵1≤x≤25，∴1≤$\sqrt{x}$≤5，
故當(dāng)$\sqrt{x}$=2時，函數(shù)取得最小值y=2，
當(dāng)$\sqrt{x}$=5時，函數(shù)取得最大值y=（5-2）²+2=9+2=11，
即函數(shù)的值域為[2，11]．
（4）y=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+6=（$\frac{1}{x}$-2）²+2，
∵$\frac{1}{5}$≤x≤2，∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤5．
故當(dāng)故當(dāng)$\frac{1}{x}$=2時，函數(shù)取得最小值y=2，
當(dāng)$\frac{1}{x}$=5時，函數(shù)取得最大值y=（5-2）²+2=9+2=11，
即函數(shù)的值域為[2，11]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用整體法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．