Question

11．已知不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，則b的取值范圍是（-∞，0）．

Answer 1

分析 設(shè)x=sinθ，則θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），則不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，轉(zhuǎn)化為b＜$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：設(shè)x=sinθ，則θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），
∵不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，
∴cosθ＞sinθ+b在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$）上恒成立，
∴b＜cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），
∴0≤cos（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b＜0，
故b的取值范圍是（-∞，0），
故選：（-∞，0）

點(diǎn)評 本題了不等式恒成立的問題，關(guān)鍵是換元，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題