Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB=1，E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求證：PC⊥BD；
（3）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接BD交AC于點O，連接EO．
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB．
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）∵四邊形ABCD是正方形∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴PC⊥BD
（3）由題意得：
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD
∵PD?平面PAC∴CD⊥PD
所以△PCD是直角三角形
因為PA=AB=1所以S_△PCD=
同理CB⊥PB即得到S_△BCP=．
因為PA⊥面ABCD，底面ABCD為正方形
所以
所以四棱錐P-ABCD的表面積為．
分析：（1）欲證PB∥平面AEC，關鍵是在平面AEC內找一直線與PB平行，連接BD交AC于點O，連接EO，利用中位線平行即可證得；
（2））由題意得四邊形ABCD是正方形所以BD⊥AC，因為PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC．進而可以證明線線垂直．
（3）因為CD⊥AD，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．所以S_△PCD=同理得S_△BCP=，再根據(jù)已知求出其他各面的面積求和即可．
點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，解決此類問題的關鍵是對判斷線面平行與線面垂直的判斷定理性質定理要熟悉．此題考查學生的空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．