Question

4．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}$（α是參數(shù)）．
（I）求直線l及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．

Answer 1

分析 （I）由ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，展開為$\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=3$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，利用cos²α+sin²α=1，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{cosα，\sqrt{3}sinα}）$，則該點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離$d=\frac{{|{cosθ+\sqrt{3}sinθ-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{θ+\frac{π}{6}}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：（I）由ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，∴$\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=3$，
即ρsinθ+ρcosθ-3=0，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
直線l的直角坐標(biāo)方程是x+y-3=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，利用cos²α+sin²α=1，
可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程是${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$．
（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{cosα，\sqrt{3}sinα}）$，則該點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離$d=\frac{{|{cosθ+\sqrt{3}sinθ-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{θ+\frac{π}{6}}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，
當(dāng)$sin（{θ+\frac{π}{6}}）=1$時(shí)，曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．