Question

14．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD=$\frac{1}{3}$DB，點C為圓O上一點，且BC=$\sqrt{3}$AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．
（1）再BC上找一點E，使BC⊥平面PDE，并求出$\frac{CE}{BE}$的值；
（2）求平面PAC與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，推導(dǎo)出AC⊥BC，CD⊥AO．PD⊥平面ABC，從而PD⊥CD，CD⊥平面PAB，過D作DE⊥BC，交BC于E，由此能求出結(jié)果．
（2）以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAC與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）連接OC，由AD=$\frac{1}{3}$BD知，點D為AO的中點
又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC
∵$\sqrt{3}$AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，設(shè)AD=1，則BD=3，
∵BC=$\sqrt{3}$AC，∴$\sqrt{9+C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{1+C{D}^{2}}$，解得CD=$\sqrt{3}$，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
過D作DE⊥BC，交BC于E，連結(jié)PE，
則BC⊥平面PDE，
此時Rt△CDE∽Rt△DBE，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，3），A（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-3），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-3$），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}=-y-3z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=3b-3c=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}a-3c=0}\end{array}\right.$，取$a=\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
設(shè)平面PAC與平面PBC所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{65}}{65}$．
∴平面PAC與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根據(jù)定義作二面角的平面角）--證角（符合定義）--求角（解三角形）；法2、空間向量法，求得兩平面的法向量，再利用向量的數(shù)量積公式求夾角的余弦值．