過拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)．若F恰好為線段AB的三等分點(diǎn)，則直線l的斜率k=
2
4
或-
2
4
2
4
或-
2
4
．
分析：由拋物線C：x2=4y得焦點(diǎn)F（0，1）．設(shè)A(x1，
x
2
1
4
)，B(x2，
x
2
2
4
)．由于F恰好為線段AB的三等分點(diǎn)，利用向量可得
AF
=2
FB
，或
AF
=
1
2
FB
．即可得到橫坐標(biāo)之間的關(guān)系．另一方面可得直線l的方程為y=kx+1，與拋物線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可解出k的值．
解答：解：由拋物線C：x2=4y得焦點(diǎn)F（0，1）．
設(shè)A(x1，
x
2
1
4
)，B(x2，
x
2
2
4
)．∵F恰好為線段AB的三等分點(diǎn)，∴
AF
=2
FB
，或
AF
=
1
2
FB
．
①當(dāng)
AF
=2
FB
時(shí)，得-x1=2x2，由直線l的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得
y=kx+1
x2=4y
，消去y得到x2-4kx-4=0，得到x1+x2=4k，x1x2=-4．
聯(lián)立
-x1=2x2
x1+x2=4k
x1x2=-4
，解得k=±
2
4
．
②當(dāng)
AF
=
1
2
FB
時(shí)，同上，k=±
2
4
．
故答案為±
2
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的相交關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、向量的共線、三等分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B兩點(diǎn)在拋物線C：x2=4y上，點(diǎn)M（0，4）滿足
MA
=λ
BM
．
（1）求證：
OA
⊥
OB
；
（2）設(shè)拋物線C過A、B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)N．
①求證：點(diǎn)N在一條定直線上；
②設(shè)4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率是
1
2
時(shí)，
AC
=4
AB
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為
174
．
（I）求p于m的值；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過p的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M點(diǎn)，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N．若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點(diǎn)A（0，4）的直線l與以F為焦點(diǎn)的拋物線C：x2=py相切于點(diǎn)T（-4，yo）；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F的橢圓與直線l有公共點(diǎn)．
（1）求直線l的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)橢圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)M（x1，yl）是拋物線C上任意一點(diǎn)，D（0，-2）為定點(diǎn)，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為
174
．
（I）求p與m的值；
（II）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作拋物線的切線MN，N（非原點(diǎn)）為切點(diǎn)，以MN為直徑作圓A，若圓A恰好經(jīng)過點(diǎn)Q，求t的最小值．

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