Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為

17

4

．
（I）求p與m的值；
（II）設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于點M，過點M作拋物線的切線MN，N（非原點）為切點，以MN為直徑作圓A，若圓A恰好經(jīng)過點Q，求t的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：y=-

p

2

，根據(jù)拋物線定義能求出p與m的值．
（Ⅱ）設(shè)直線lPQ：y-t2=k(x-t)，當y=0，x=

-t2+kt

k

，則M（

-t2+kt

k

，0），聯(lián)立方程

y-t2=k(x-t) x2=y

，得：x²-kx+t（k-t）=0，由此入手能夠求出t的最小值．

解答：（本題滿分15分）
解：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：y=-

p

2

，根據(jù)拋物線定義
點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，即4+

p

2

=

17

4

，解得p=

1

2

∴拋物線方程為：x²=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2…（4分）
（Ⅱ）由題意知，過點P（t，t²）的直線PQ斜率存在且不為0，設(shè)其為k．
則lPQ：y-t2=k(x-t)，
當y=0，x=

-t2+kt

k

，則M（

-t2+kt

k

，0），…（6分）
聯(lián)立方程

y-t2=k(x-t) x2=y

，整理得：x²-kx+t（k-t）=0，
即：（x-t）[x-（k-t）]=0，解得x=t，或x=k-t，
∴Q（k-t，（k-t）²），…（8分）
而以MN為直徑的圓A恰好經(jīng)過點Q，
∴QN⊥QP，∴直線NQ斜率為-

1

k

，
∴lNQ：y-(k-t)2=-

1

k

[x-(k-t)]，…（10分）
聯(lián)立方程

y-(k-t)2=- 1 k [x-(k-t)] x2=y

，
整理得：x2+

1

k

x-

1

k

(k-t)-(k-t)2=0，
即：kx²+x-（k-t）[k（k-t）+1]=0，
[kx+k（k-t）+1][x-（k-t）]=0，
解得：x=-

k(k-t)+1

k

，或x=k-t，
∴N（-

k(k-t)+1

k

，

[k(k-t)+1]2

k2

），…（12分）
∴kNM=

[k(k-t)+1]2 k2

k(k-t)+1 k - -t2+kt k

=

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

，
而拋物線在點N處切線斜率：k_切=y′|x=

k(k-t)+1

k

=

-2k(k-t)-2

k

，
∵MN是拋物線的切線，∴

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

=

-2k(k-t)-2

k

，…（14分）
整理得k²+tk+1-2t²=0，
∵△=t²-4（1-2t²）≥0，
解得t≤-

2

3

（舍去），或t≥

2

3

，
∴t_min=

2

3

．…（15分）

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)和應用，具體涉及到拋物線和直線的位置關(guān)系的應用，拋物線的簡單性質(zhì)，圓的簡單性質(zhì)，直線方程等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．