(滿分12分)直線
l 與拋物線
y2 = 4
x 交于兩點
A、
B,
O 為原點,且

= -4.
(I) 求證:直線
l 恒過一定點;
(II) 若 4

≤|
AB | ≤

,求直線
l 的

斜率
k 的取值范圍;
(Ⅲ) 設(shè)拋物線的焦點為
F,∠
AFB =
θ,試問
θ 角

能否

等于120°?若能,求出相應(yīng)的直線
l 的方程;若不能,請說明理由.

(Ⅰ)見解析
(Ⅱ) kÎ [-1, -]∪[ , 1 ].
(Ⅲ)見解析
(I) 1°若直線
l 與
x 軸不垂直,
設(shè)其方程為
y =
kx +
b,
l 與拋物線
y2 = 4
x 的交點坐標分別為
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),
由·= -4 得
x1x2 +
y1y2 = -4,即+
y1y2 = -4,
則
y1y2 = -8. 1分
又由得
ky2-4
y + 4
b =" 0" (
k≠ 0).
則
y1y2 = = -8,即
b = -2
k, 2分]
則直線
l 的方程為
y =
k (
x-2),則直線
l 過定點 (2, 0). 3分
2°若直線
l⊥
x 軸,易得
x1 =
x2 = 2,則
l 也過定點 (2, 0).
綜上,直線
l 恒過定點 (2, 0). 4分
(II) 由 (I) 得 |
AB |
2 =" (1" + )(
y2-
y1)
2 = ( + 32) 6分
從而 6 ≤( + 2) ≤ 30. 7分
解得
kÎ [-1, -]∪[ , 1 ]. 8分

(III) 假定
θ =
p,則有cos
θ = -,
如圖,即= - (*) 9分
由 (I) 得
y1y2 = -8,
x1x2 = = 4.
由定義得 |
AF | =
x1 + 1,|
BF | =
x2 + 1.
從而有 |
AF |
2 + |
BF |
2-|
AB |
2 = (
x1 + 1)
2 + (
x2 + 1)
2-(
x1-
x2)
2-(
y1-
y2)
2= -2 (
x1 +
x2)-6, 12分
|
AF |·|
BF | = (
x1 + 1) (
x2 + 1) =
x1x2 +
x1 +
x2 + 1 =
x1 +
x2 + 5
將代入 (*) 得= -,即
x1 +
x2 + 1 = 0.
這與
x1 > 0 且
x2 > 0 相矛盾! 13分
經(jīng)檢驗,當
AB⊥
x 軸時,
θ =" 2" arctan 2>
p.
綜上,
θ≠
p. 14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題16分)
已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為

軸,焦點

在直線

上,直線

與拋物線相交于

兩點,

為拋物線上一動點(不同于

),直線

分別交該拋物線的準線

于點

。
(1)求拋物線方程;
(2)求證:以

為直徑的圓

經(jīng)過焦點

,且當

為拋物線的頂點時,圓

與直線

相切。

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,拋物線

與雙曲線

有公共焦點

,點

是曲線

在第一象限的交點,且

.

(Ⅰ)求雙曲線

的方程;
(Ⅱ)以

為圓心的圓

與雙曲線的一條漸近線相切,
圓

:

.已知點

,過點

作互相垂
直且分別與圓

、圓

相交的直線

和

,設(shè)

被圓

截
得的弦長為

,

被圓

截得的弦長為

.

是否為定值?
請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(13分)已知橢圓
C的中心在坐標原點,離心率

,且其中一個焦點與拋物線

的焦點重合.
(1)求橢圓
C的方程;
(2)過點
S(

,0)的動直線
l交橢圓
C于
A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論
l如何轉(zhuǎn)動,以
AB為直徑的圓恒過點T,若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知直線


所經(jīng)過的定點

恰好是橢圓

的一個焦點,且橢圓

上的點到點

的最大距離為3.
(Ⅰ)求橢圓

的標準方程;
(Ⅱ)已知圓

,直線

.試證明:當點

在橢圓

上運動時,直線

與圓

恒相交,并求直線

被圓

所截得弦長

的取值范圍.
(Ⅲ)設(shè)直線

與橢圓交于

兩點,若直線

交

軸于點

,且

,當

變化時,求

的值;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(13分)已知橢圓

經(jīng)過點

,過右焦點F且不與x軸重合的動直線L交橢圓于

兩點,當動直線L的斜率為2時,坐標原點O到L的距離為

.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 過F的另一直線交橢圓于

兩點,且

,當四邊形

的面積S=

時,求直線L的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
圓

與橢圓

為參數(shù))有公共點,則圓的半徑的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線

的焦點是雙曲線

=1(

)的右頂點,雙曲線的其中一條漸近線方程為

,則雙曲線的離心率為________。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線

(a>0,b>0)的左準線為
l,左、右焦點分別為F
1、F
2,拋物線C
2的準線為
l,焦點為F
2,C
1與C
2的交點為M,則

=
。
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