Question

5．O-xyz坐標(biāo)系內(nèi)xoy平面內(nèi)0≤y≤2-x²繞y軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)不透光立體，在（1，0，1）設(shè)置一光源，在xoy平面內(nèi)有一以原點(diǎn)為圓心C被光照到的長度為2π，則曲線C上未被照到的長度為2π（r-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意所研究的是過光源點(diǎn)的拋物面的切面在xoy平面中與圓的交線所構(gòu)成平面幾何圖形的問題．

解答 解：如圖所示；
由x²+z²=2-y知，
拋物面y=2-x²-z²，y對x求偏導(dǎo)數(shù)得$\frac{αy}{αx}$=-2x，
得l₁：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{z=1}\end{array}\right.$；
y對z求偏導(dǎo)數(shù)得$\frac{αy}{αz}$=-2z，得l₂：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2z+2}\\{x=1}\end{array}\right.$；
�。�0，2，1），（1，2，0），（1，0，1），
設(shè)切面ax+by+cz+d=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{2b+c+d=0}\\{a+2b+d=0}\\{a+c+d=0}\end{array}\right.$，
得切面2x+y+2z-4=0，
故交線為2x+y-4=0；
由d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\fraci6yc8gi{r}}\\{2θ•r=2π}\end{array}\right.$，可解得r的值；
所以l=2π（r-1）．
故答案為：l=2π（r-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是北大2008自主招生最難的一道數(shù)學(xué)試題，解題時(shí)要有很高的想象力、推理能力，也需要高超的解題技巧得到切面與交線，需要高等數(shù)學(xué)中偏導(dǎo)數(shù)知識(shí)，是難題．