Question

9．已知定義在R上的增函數y=f（x）滿足f（x）+f（4-x）=0，若實數a、b滿足不等式f（a）+f（b）≥0，則a²+b²的最小值是8．

Answer 1

分析 根據函數的單調性將不等式組進行轉化，結合線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=-f（4-x），∴-f（x）=f（4-x），
∴f（a）+f（b）≥0可化為f（a）≥-f（b）=f（4-b），
又∵f（x）在R上單調遞增，∴a≥4-b，即a+b-4≥0，
a²+b²表示點（0，0）到點（a，b）的距離平方，
∴a²+b²的最小值是點（0，0）到直線a+b-4＞0的距離平方$（\frac{-4}{\sqrt{2}}）^{2}=8$．
故答案為：8

點評 本題考查函數恒成立問題，考查數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．