Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別與曲線C交于A，B和CD．
①以線段AB為直徑的圓過能否過坐標(biāo)原點(diǎn)，若能求出此時(shí)的k值，若不能說明理由；
②求四邊形ABCD面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）P（x，y）根據(jù)橢圓的定義可推斷點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，進(jìn)而可求得短半軸b，橢圓方程可得．
（2））①設(shè)直線，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k．
②由①可求得|AB|的表達(dá)式，進(jìn)而把k換為求得|CD|表達(dá)式進(jìn)而得到四邊形ABCD的面積，令k²+1=t，根據(jù)t的范圍可確定四邊形ABCD的面積的范圍，最后看當(dāng)直線l₁或l₂的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，另一個(gè)斜率為0，此時(shí)四邊形ABCD的面積為2，綜合可得答案．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．
（2）①設(shè)直線，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得，
故．
以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而，
于是，
化簡得-4k²+11=0，所以k²=．
②由①，，
將上式中的k換為得，
由于AB⊥CD，故四邊形ABCD的面積為，
令k²+1=t，則，
而，故，故，
當(dāng)直線l₁或l₂的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，另一個(gè)斜率為0，不難驗(yàn)證此時(shí)四邊形ABCD的面積為2，
故四邊形ABCD面積的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)問題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．