Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，f(x)=

-x2+2ax，x≤1 log3x，x＞1

方程f(x)=

7

16

a2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大的實(shí)根大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

(

4 7

7

，4]

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件確定方程f(x)=

7

16

a2在x≤1時(shí)有且僅有1個(gè)實(shí)根，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，確定a的取值范圍即可．

解答：解：設(shè)比較大的根為x₁，則x₁＞3，
此時(shí)由f(x)=

7

16

a2=log₃x＞log₃3=1，
即a 2＞

16

7

，即a＞

16 7

=

4 7

7

．
∵方程f(x)=

7

16

a2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，方程f(x)=

7

16

a2有且僅有1實(shí)根，
即-x 2+2ax=

7a2

16

，在x≤1時(shí)，只有一個(gè)根．
∴x 2-2ax+

7a2

16

=0，
設(shè)g（x）=x 2-2ax+

7a2

16

，（x≤1），
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，
若a≥1，
∵g（0）=

7a2

16

＞0，
∴此時(shí)滿足g（1）≤0，（圖1）
即g（1）=1-2a+

7a2

16

≤0，
∴7a²-32a+16≤0，
解得

4

7

≤a≤4，∴此時(shí)1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）=

7a2

16

＞0，
∴此時(shí)滿足g（1）＜0，
即g（1）=1-2a+

7a2

16

＜0，
∴77a²-32a+16＜0，
解得

4

7

＜a＜4，∴此時(shí)

4

7

＜a＜1，
∴

4

7

＜a≤4，
又a＞

4 7

7

，
∴

4 7

7

＜a≤4，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

4 7

7

，4]，
故答案為：(

4 7

7

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)判斷等等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．采用數(shù)形結(jié)合是此種問題的常用解法．