Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-x，若對任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（\frac{1}{4}，+∞）$
• D． $[\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 對$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$進行化簡，轉(zhuǎn)化為a（x₁+x₂）-1＞0恒成立，再將不等式變形，得到a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，從而將恒成立問題轉(zhuǎn)變成求$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的最大值，即可求出a的取值范圍

解答 解：不妨設x₂＞x₁≥2，
$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（a{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}）-（a{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，
∵對任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
∴x₂＞x₁≥2時，a（x₁+x₂）-1＞0，即a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立
∵x₂＞x₁≥2
∴$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}＜\frac{1}{4}$
∴a$≥\frac{1}{4}$，即a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）
故本題選D

點評 本題考查了不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，注意運用參數(shù)分離，屬于基礎題．