【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓過坐標(biāo)原點且圓心在曲線上.
(1)若圓分別與軸、軸交于點、(不同于原點),求證:的面積為定值;
(2)設(shè)直線與圓交于不同的兩點,且,求圓的方程;
(3)設(shè)直線與(2)中所求圓交于點、, 為直線上的動點,直線,與圓的另一個交點分別為,,且,在直線異側(cè),求證:直線過定點,并求出定點坐標(biāo).
【答案】(1)證明過程見解析;(2) ;(3)直線過定點.
【解析】(1)由題意可設(shè)圓M的方程為,
即.令,得;令,得.
(定值).
(2)由,知.所以,解得.
當(dāng)時,圓心M到直線的距離小于半徑,符合題意;
當(dāng)時,圓心M到直線的距離大于半徑,不符合題意.
所以,所求圓M的方程為.
(3)設(shè),,,又知,,
所以,.
顯然,設(shè),則.
從而直線PE方程為:,與圓M的方程聯(lián)立,消去y,可得:,所以,,即;
同理直線PF方程為:,與圓M的方程聯(lián)立,消去y,可得:,所以,,即.
所以 ;
.
消去參數(shù)m整理得. ①
設(shè)直線的方程為,代入,
整理得.
所以,.
代入①式,并整理得,
即,解得或.
當(dāng)時,直線的方程為,過定點;
當(dāng)時,直線的方程為,過定點
第二種情況不合題意(因為在直徑的異側(cè)),舍去.
所以,直線過定點.
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【題目】食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病,為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:
(1)請將列聯(lián)表補充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽幾人?
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合計 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合計 | 36 |
(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān),請計算出統(tǒng)計量,并說明你有多大把握認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān).
下列的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:)
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,四邊形BB1C1C為正方形,設(shè)AB1的中點為D,B1C∩BC1=E.
求證:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥平面AB1C.
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【題目】在銳角△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acsin C=(a2+c2-b2)·sin B.
(1)若C=,求A的大;
(2)若a≠b,求的取值范圍.
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【題目】直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.
(1)證明:CB1⊥BA1;
(2)已知AB=2,BC=,求三棱錐C1-ABA1的體積.
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【題目】如圖(1)所示,在直角梯形中,,,,,是的中點,是與的交點.將△沿折起到△的位置,如圖(2)所示.
(1)證明:平面;
(2)若平面平面,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖,四棱錐的底面為正方形,⊥底面,分別是的中點,.
(Ⅰ)求證∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成的角;
(Ⅲ)求四棱錐的外接球的體積.
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【題目】簡陽羊肉湯已入選成都市級非遺項目,成為簡陽的名片。當(dāng)初向各地作了廣告推廣,同時廣告對銷售收益也有影響。在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,計算圖中各小長方形的寬度;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計投入4萬元廣告費用之后,并將各地銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);
(Ⅲ)按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:百萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的數(shù)據(jù)顯示,與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請將(Ⅱ)的結(jié)果填入空白欄,并計算關(guān)于的回歸方程.回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 , .
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