已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N+）．請用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N+時，an＜an+1．
考點：數(shù)學(xué)歸納法
專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：對于n∈N•時的命題，考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答： 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時，因為a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時，ak＜ak+1，
因為ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即當(dāng)n=k+1時，an＜an+1也成立．
根據(jù)①和②，可知an＜an+1對任何n∈N*都成立．
點評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知p：方程x2+（m+3）x+1=0有兩個不相等的負(fù)實數(shù)根；q：方程4x2-4mx+4m+5=0有兩個不相等的大于-1的實數(shù)根，求所有使“p或q”為真命題，同時“p且q”為假命題的實數(shù)m組成的集合M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）若x、y為正整數(shù)，且滿足
4
x
+
16
y
=1，求x+y的最小值．
（2）圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，求經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式：|x-1|+|2x-3|＞8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
sin50°×(1+
3
tan10°)-cos20°
cos80°×
1-cos20°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
x-
2
x-
3
（x≠
3
），
（1）求函數(shù)的值域；
（2）如果x∈Z，求y的最大值、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足約束條件
x+2y-4≤0
x-y-1≤0
x+2≥0
，求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y+2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，其焦點F（c，0）（c＞0）到直線l：x-y+2=0的距離為
3
2
2
．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若M是拋物線C上異于原點的任意一點，圓M與y軸相切．
（i）試證：存在一定圓N與圓M相外切，并求出圓N的方程；
（ii）若點P是直線l上任意一點，A，B是圓N上兩點，且
AB
=λ
BN
，求
PA
•
PB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線方程x2=4y，直線y=kx+m交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且x1x2=-4，則m的值
 
．

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同步練習(xí)冊答案