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已知函數f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).

(1)若曲線yf(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;

(2)求f(x)的單調區(qū)間;

(3)設g(x)=x2-2x,若對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.

解析 f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).

(1)由f′(1)=f′(3),解得a.

(2)f′(x)=(x>0).

①當a≤0時,x>0,ax-1<0,

在區(qū)間(0,2)上f′(x)>0;在區(qū)間(2,+∞)上f′(x)<0.

f(x)的單調遞增區(qū)間(0,2),單調遞減區(qū)間是(2,+∞).

②當0<a<時,>2,

在區(qū)間(0,2)和f′(x)>0;在區(qū)間f′(x)<0,故f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,2)和(,+∞),

單調遞減區(qū)間是.

③當a時,f′(x)=,

f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,+∞).

④當a>時,0<<2,

在區(qū)間和(2,+∞)上f′(x)>0;在區(qū)間f′(x)<0,故f(x)的單調遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調遞減區(qū)間是.

(3)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.

由已知,g(x)max=0,由(2)可知,

①當a時,f(x)在(0,2]上單調遞增,

f(x)maxf(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2.

所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.

故ln2-1<a.

②當a>時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,故f(x)maxf()=-2--2lna.

a>可知lna>ln>ln=-1,2lna>-2,-2lna<2.

所以,-2-2lna<0,f(x)max<0.

綜上所述,a>ln2-1.

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