Question

已知集合P={x|x²-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}．
（1）當(dāng)b=4時(shí)，寫(xiě)出所有滿足條件P?M⊆Q的集合M；
（2）若P⊆Q，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
當(dāng)b=4時(shí)，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集．
共有 2³-1=7 個(gè)，分別為{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵P⊆Q，對(duì)于方程x²-3x+b=0，當(dāng)P=∅，△=9-4b＜0時(shí)，有．
△=9-4b≥0時(shí)，P≠∅，方程x²-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)．
若-1是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=-4，此時(shí)P={-1，4}，不滿足P⊆Q，故舍去．
若1是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=2，此時(shí)P={1，2}，不滿足P⊆Q，，故舍去．
若-4是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=2，此時(shí)P={-1，4}，不滿足P⊆Q，故舍去．
綜上可得，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（，+∞）．
分析：（1）由于集合Q={-1，1，-4}，當(dāng)b=4時(shí)，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集，從而得到M．
（2）當(dāng)P=∅，△=9-4b＜0時(shí)，有．當(dāng)P≠∅，方程x²-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)，把x=-1，1，-4代入檢驗(yàn)，由此得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．注意檢驗(yàn)P⊆Q，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．