Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-x²（0＜a≤1）
（I）$a=\frac{1}{2}$時，求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的方程
（II）設(shè)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（s，t）（s＜t），求t-s的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率f′（1），再計算f（1），代入點斜式方程化簡即可；
（II）令f′（x）＞0可得2x²-ax-1＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系可得s=0，t=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，再利用函數(shù)單調(diào)性和a的范圍得出t-s的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}+a-2x$，∴$f'（1）=a-1=-\frac{1}{2}$，
又$f（1）=a-1=-\frac{1}{2}$，
∴y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為y+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），即$y=-\frac{1}{2}x$．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{1+ax-2{x^2}}}{x}\;（{x＞0}）$，
令f′（x）＞0得2x²-ax-1＜0，
∵△=a²+8＞0，∴2x²-ax-1=0有兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），
又${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}＜0$，
∴（s，t）=（0，x₂），則$t-s={x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，
而$y=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴a=1時，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$取得最大值1，
∴a=1時t-s取得最大值1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．