Question

已知f（x）=

sin( 5π 2 +x)

cos(x- π 2 )

•sin（x+π）•cos（π-x）．
（Ⅰ）當(dāng)tan（π+x）=-2時(shí)，求f（x）的值；
（Ⅱ）指出f（x）的最大值與最小值，并分別寫出使f（x）取得最大值、最小值的自變量x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，約分得到結(jié)果，根據(jù)tan（π+x）=-2，求出tanx的值，即可確定出f（x）的值；
（Ⅱ）利用余弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值與最小值，并求出取得最大值、最小值時(shí)x的集合即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

cosx

sinx

•（-sinx）•（-cosx）=cos²x，
由tan（π+x）=-2，得tanx=-2，
∴f（x）=cos²x=

1

1+tan2x

=

1

5

；
（Ⅱ）∵f（x）=cos²x，∴f（x）的最大值為1，最小值為0，
當(dāng)f（x）=1時(shí)，cosx=±1，此時(shí)x=kπ，k∈Z，
使f（x）取得最大值的自變量x的集合為{x|x=kπ，k∈Z}；
當(dāng)f（x）=0時(shí)，cosx=0，此時(shí)x=kπ+

π

2

，k∈Z，
使f（x）取得最小值的自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

2

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．