已知點(diǎn)P，A，B，C，D都是直徑為3的球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，若PA=1，則幾何體P-ABCD的體積為________．


分析：可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑（球O為該長(zhǎng)方體的外接球），于是可求得PC的長(zhǎng)度，進(jìn)一步可求出底面邊長(zhǎng)，從而求幾何體P-ABCD的體積．
解答：依題意，可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，
則球O為該長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑．
設(shè)ABCD是邊長(zhǎng)為a，PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴PC2=AP2+2AB2=1+2a2=32，
∴a2=4，
則幾何體P-ABCD的體積為V==．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查球內(nèi)接多面體的應(yīng)用，“補(bǔ)形”是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•遼寧）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2
3
正方形．若PA=2
6
，則△OAB的面積為
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P，A，B，C，D都是直徑為3的球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，若PA=1，則幾何體P-ABCD的體積為
4
3
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形．若PA=2
2
，則球O的體積為
32
3
π
32
3
π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O的球面上的五點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2
3
，PA⊥面ABCD，PA=2
6
，則此球的體積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩成60°角，PA=PB=PC=4cm，則球的表面積為
 
cm2．

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