Question

如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面 ABC，△ABC是正三角形，AC=2 PA=2，D、E分別為棱 AC和 BC的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥平面PAB；
（2）證明：平面 PBD⊥平面PAC；
（3）求三棱錐P-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由三角形中位線定理DE∥AB，由此能證明DE∥平面PAB．
（2）由線面垂直得PA⊥BD，由正三角形性質(zhì)得BD⊥AC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（3）由已知得S△BDE=

1

2

•S△BCD=

1

2

×

1

2

×S△ABC，再由PA⊥平面ABC，能求出三棱錐P-BDE的體積．

解答： （1）證明：∵D、E分別為棱AC和BC的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，
又∵AB?平面PAB，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（2）證明：∵PA⊥平面ABC，且BD?平面ABC，
∴PA⊥BD，
∵△ABC是正三角形，D是AC中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，且PA，AC?平面PAC，
∴BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（3）解：在正三角形ABC中，
∵D，E分別為棱AC和BC的中點(diǎn)，
∴S△BDE=

1

2

•S△BCD=

1

2

×

1

2

×S△ABC
=

1

4

×

1

2

×2×2×sin60°=

3

4

，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥平面BDE，
∴VF-BDE=

1

3

×S△BDE×PA=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．