Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是，的中點.

（1）求三棱錐的體積；

（2）若異面直線與所成的角為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）三棱錐P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，利用VP﹣ABCPA能求出三棱錐P﹣ABC的體積．

（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，得∠EDF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與ED所成的角θ，由此能求出tanθ．

（1）三棱錐P﹣ABC中，

∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝4，∠ABC＝30°，D、E分別是BC、AP的中點，

∴AC＝2，AB＝2，

所以，體積VP﹣ABCPA．

（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，

所以∠EDF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與ED所成的角θ．

由已知，AC＝EA＝AD＝2，AB＝2，PC＝2，

∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．

在Rt△EFD中，DF，EF，

所以，tanθ．