Question

【題目】已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點，過點且與軸不垂直的直線與拋物線交于，兩點，關于軸的對稱點為.

（1）求拋物線的方程；

（2）試問直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出橢圓的焦點，容易求得拋物線的方程.

（2）解法一：設直線的方程為與拋物線聯(lián)立，得到橫坐標關系，設直線的方程為與拋物線聯(lián)立，得到橫坐標關系,從而得到的關系，找出定點.

解法二：直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得到縱坐標關系，設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得到縱坐標關系，從而可以解出，得到定點.

（1）由題意可知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，坐標為，

所以，所以拋物線的方程為；

（2）【解法一】因為點與點關于軸對稱

所以設，，，

設直線的方程為，

代入得：，所以，

設直線的方程為，

代入得：，所以，

因為，，所以，即，

所以直線的方程為，必過定點.

【解法二】

設，，，

因為點與點關于軸對稱，所以，

設直線的方程為，

代入得：，所以，

設直線的方程為，

代入得：，所以，

因為，所以，即，

所以直線的方程為，必過定點.