Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^2-ax+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=4時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈（2，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時，f（x）=$\frac{x^2-ax+a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$-4，
∵x≥1，∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$-4≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$-4=4-4=0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{4}{x}$，即x=2時取等號，
即函數(shù)f（x）的最小值為0
（2）若對任意x∈（2，+∞），f（x）＞0恒成立，
即若對任意x∈（2，+∞），$\frac{x^2-ax+a}{x}$＞0恒成立，
即x²-ax+a＞0，
即x²＞a（x-1），
即a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，則h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2，
∵x＞2，
∴x-1＞1，
設(shè)t=x-1，則t＞1，
則函數(shù)g（t）=t+$\frac{1}{t}$+2在（1，+∞）上為增函數(shù)，
則g（t）＞g（1）=1+1+2=4，
∴a≤4．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及構(gòu)造法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．