Question

15．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的動點．
（1）當BE=CF時，求證：B′F⊥D′E；
（2）若點E為BC的中點，在棱CD上是否存在點F，使二面角C′-EF-C的余弦值為$\frac{1}{3}$？若存在，請確定點F的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設CE=DF=a，以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B'F⊥D'E．
（2）設DF=b，求出平面EFC'的一個法向量和平面EFC的一個法向量，由向量法能求出當點F為棱CD的中點時，二面角C'-EF-C的余弦值為$\frac{1}{3}$．

解答 證明：（1）設CE=DF=a，以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標系，…（1分
則E（a，2，0），F(xiàn)（0，a，0），B'（2，2，2），D'（0，0，2），C'（0，2，2），…（3分）
∴$\overrightarrow{B'F}=（-2，a-2，-2），\overrightarrow{D'E}=（a，2，-2）$，
∵$\overrightarrow{B'F}•\overrightarrow{D'E}=（a，2，-2）×（-2，a-2，-2）$=-2a+2a-4+4=0，…（5分）
∴$\overrightarrow{B'F}⊥\overrightarrow{D'E}$，∴B'F⊥D'E．…（6分）
解：（2）設DF=b，由題意可知，E（1，2，0），F(xiàn)（0，b，0）（0≤b≤2），
∴$\overrightarrow{EF}=（-1，b-2，0）$，$\overrightarrow{C'F}=（0，b-2，-2）$，…（8分）
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面EFC'的一個法向量，
則有$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{{C}^{'}F}•\overrightarrow{n}$=0，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-x+（b-2）y=0}\\{（b-2）y+（-2）z=0}\end{array}}\right.$，令y=1得，$\overrightarrow{n}$=（b-2，1，$\frac{b-2}{2}$），…（10分）
而平面EFC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
要使二面角C'-EF-C的余弦值為$\frac{1}{3}$，
只需|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{3}$，即$|\frac{{\frac{b-2}{2}}}{{\sqrt{{{（b-2）}^2}+1+{{（\frac{b-2}{2}）}^2}}}}|=\frac{1}{3}$，
解得b=1，b=3（舍），…（12分）
∴當點F為棱CD的中點時，二面角C'-EF-C的余弦值為$\frac{1}{3}$．…（13分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．