Question

7．某城市理論預(yù)測(cè)2014年到2018年人口總數(shù)y （單位：十萬）與年份（用2014+x表示）的關(guān)系如表所示：

年份中的x	0	1	2	3	4
人口總數(shù)y	5	7	8	11	19

（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（3）據(jù)此估計(jì)2019年該城市人口總數(shù)．
（參考數(shù)據(jù)：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，0²+1²+2²+3²+4²=30）
參考公式：線性回歸方程為$\hat y=bx+a$，其中 $b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格畫出散點(diǎn)圖：可得y與x是正相關(guān)．
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，可依據(jù)公式求得b和a的值，從而求得回歸方程．
（3）在回歸直線的方程中，令x=5，求得對(duì)應(yīng)的y值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)表格畫出散點(diǎn)圖：可得y與x是正相關(guān)．
概據(jù)題中數(shù)表畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示．
（2）由題中數(shù)表，知：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（0+1+2+3+4）=2，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5+7+8+11+19）=10，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}x}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=3.2，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.6，∴回歸方程為y=3.2x+3.6．
（3）當(dāng)x=5時(shí)，求得y=19.6（十萬）=196（萬）．
答：估計(jì)2019年該城市人口總數(shù)約為196萬．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，線性回歸問題，求回歸直線的方程以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．