Question

公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)．例如：2與7互質(zhì)，1與4互質(zhì)．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α₁•α₂•α₃•α₄•α₅•α₆•α₇中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有（　�。┓N．

A．576

B．720

C．864

D．1152

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析可得1、5、7這三個數(shù)與任意的數(shù)互質(zhì)，可以放在任意位置，最先安排這三個數(shù)，2、4、6這三個數(shù)兩兩有公約數(shù)，彼此不能相鄰，3與6也不能相鄰，則對2、4、6和3這四個數(shù)，分兩種情況討論：①3不2、4在中間，②3在2、4之間，分別求出每種情況的排法數(shù)目，有分類計數(shù)原理可得2、4、6和3這四個數(shù)的排法數(shù)目，進而由分步計數(shù)原理，計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，先排1、5、7，有A₃³=6種情況，排好后有4個空位，
對于2、4、6和3這四個數(shù)，
分兩種情況討論：①3不2、4在中間，可先將2、4、6排在4個空位中，有A₄³=24種情況，3不能放在6的兩邊，有5種排法，則此時有24×5=120種不同的排法，
②3在2、4之間，將這三個數(shù)看成整體，有2種情況，與6一起排在4個空位中，有A₄²=12種情況，則此時有2×12=24種不同的排法，
則2、4、6和3這四個數(shù)共有120+24=144種排法；
則使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有6×144=864種；
故選C．

點評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)互質(zhì)數(shù)的定義，對所給的7個數(shù)進行分組，再分步進行排列．