已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調性；

（2）設，求在上的最大值；

（3）試證明：對，不等式.

 

（1）函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）=（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導數(shù),分別解出導數(shù)大于0和導數(shù)小于0的解集，就是函數(shù)的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；（2）由（1）知函數(shù)的單調性，利用分類整合思想，對區(qū)間端點與單調區(qū)間的分界點比較，利用函數(shù)的圖像與性質，求出最大值即可；（3）由（1）知的在（0，+）的最大值，列出關于的不等式，通過變形化為對恒有，令對，即可得到所證不等式.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是：

由已知 1分

令得，，

當時，，當時，

函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減 3分

（2）由（1）知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減

故①當即時，在上單調遞增

5分

②當時，在上單調遞減

7分

③當，即時

綜上所述，=. 9分

（3）由（1）知，當時， 10分

∴ 在上恒有，即且當時“=”成立

∴對恒有

即對，不等式恒成立； 12分

考點:常見函數(shù)導數(shù)，導數(shù)的運算法則，導數(shù)與函數(shù)單調性關系，利用導數(shù)求最值，利用導數(shù)證明不等式，化歸與轉化思想，分類整合思想

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知定義在R上的函數(shù)的最小值為.

（1）求的值；

（2）若為正實數(shù)，且，求證：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知奇函數(shù)當時，，則當時，的表達式是( ).

A、 B、 C、 D、

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知符號表示不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則的取值范圍是（ ）

A． 　　　　B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

用數(shù)學歸納法證明：“1＋a＋a2＋ ＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　 )

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓的極坐標方程為：.

（1）將極坐標方程化為普通方程；

（2）若點在該圓上，求的最大值和最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知兩條不同直線、，兩個不同平面、，給出下列命題：

①若∥，則平行于內的所有直線；

②若，且⊥，則⊥；

③若，，則⊥；

④若，且∥，則∥；

其中正確命題的個數(shù)為（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江省高二下學期期末理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

下面給出的命題中：

①已知則與的關系是

②已知服從正態(tài)分布，且，則

③將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象。

其中是真命題的有 _____________（填序號）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆黑龍江大慶鐵人中學高二下學期四月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù) ．

（1）當在點處的切線方程是y=x+ln2時,求a的值．

（2)當的單調遞增區(qū)間是（1，5）時，求a的取值集合．

 

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