已知函數(shù)f（x）=
1
1+x
，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=f（an），若a2011=a2013，則a1=
-1+
5
2
-1+
5
2
．
分析：先求出a2011的值，再計(jì)算a2009，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得到結(jié)論．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=
1
1+x
，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=f（an），
∴an+2=
1
1+an

取n=2011，∵a2011=a2013，∴a2011=
1
1+a2011

所以（a2011）2+a2011-1=0，
∴a2011是方程x2+x-1=0的根，a2011＞0
∴a2011=
-1+
5
2

∵an+2=
1
1+an
，∴an=
1
an+2
-1
∴a2009=
1
a2011
-1=
-1+
5
2

依此類(lèi)推可得a1=
-1+
5
2

故答案為：
-1+
5
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿(mǎn)足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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