Question

7．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（$\frac{1}{2}$）=3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（$\frac{1}{2}$）=3，得到關(guān)于a的方程，解出即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（$\frac{1}{2}$）=3，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1-2a=3，解得：a=-1；
（2）由（1）得：f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，f（x）在（1，+∞）遞增，
證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$\frac{{{2x}_{1}x}_{2}-1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₁-x₂＞0，2x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）遞增．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)求值問題，是一道基礎(chǔ)題．