Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R）．是否存在實數(shù)a、b、c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）
當x≥0時，，函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)；當x＜0時，，函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)
（Ⅱ）假設存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），2[g（x）]_min＜[g（x）]_max
∵，∴
①當t≥1時，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴2g（1）＜g（0）即得
②當t≤0時，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴2g（0）＜g（1）即得t＜3-2e＜0，
③當0＜t＜1時，在x∈[0，t），
g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上單調(diào)遞減，
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上單調(diào)遞增，
此時g（x）的最小值為g（t），最大值為max{g（0），g（1）}，
∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}，即（★） …（13分）
由（1）知在t∈[0，1]上單調(diào)遞減，故，而，∴不等式（★）無解 …（15分）
綜上所述，存在，使得命題成立．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導數(shù)小于（等于）0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用導數(shù)大于（等于）0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）假設存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），則問題轉化為2[g（x）]_min＜[g（x）]_max，對t進行討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值，進而確定實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，注意分類討論思想的運用，屬于中檔題．