Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，得到曲線C的極坐標方程是ρ=4sinθ
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程及其參數(shù)方程；
（Ⅱ）在平面直角坐標系中，對于兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），記δ=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，點P（2，4），Q在曲線C上運動，求δ的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）由曲線C的極坐標方程是ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，利用

ρ2=x2+y2 y=ρsinθ

，可得直角坐標方程：x²+（y-2）²=4，設(shè)x=2cosα，y=2+2sinα，可得其參數(shù)方程．
（II）由（I）的參數(shù)方程可設(shè)Q（2cosα，2+2sinα），可得δ=|2cosα-2|+|2+2sinα-4|=|2cosα-2|+|2sinα-2|，于是δ²=12-8（sinα+cosα）+8|sinαcosα-（sinα+cosα）+1|，令sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=t∈[-

2

，

2

]，sinαcosα=

t2-1

2

．代入可得δ=2|t-2|，即可得出．

解答： 解：（I）由曲線C的極坐標方程是ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
設(shè)x=2cosα，y=2+2sinα，可得其參數(shù)方程

x=2cosα y=2+2sinα

（α∈[0，2π）為參數(shù)）．
（II）由（I）的參數(shù)方程可設(shè)Q（2cosα，2+2sinα），
∴δ=|2cosα-2|+|2+2sinα-4|=|2cosα-2|+|2sinα-2|，
∴δ²=12-8（sinα+cosα）+8|sinαcosα-（sinα+cosα）+1|，
令sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=t∈[-

2

，

2

]，
則sinαcosα=

t2-1

2

．
∴δ²=12-8t+8|

t2-1

2

-t+1|，
=12-8t+4（t-1）²
=4（t-2）²，
∴δ=2|t-2|，
∵t∈[-

2

，

2

]，
∴δ=[4-2

2

，4+4

2

]．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程及其參數(shù)方程、三角函數(shù)換元法、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．