Question

20．雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂為拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點，設(shè)C₁與C₂的一個交點為P，若|PF₂|=|F₁F₂|，則C₁的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n）位于第一象限，求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，可得c=$\frac{p}{2}$，再由拋物線的定義，求得m，代入拋物線的方程可得n，代入雙曲線的方程，由雙曲線的a，b，c和離心率公式，化簡整理計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P（m，n）位于第一象限，可得m＞0，n＞0，
由題意可得F₂（$\frac{p}{2}$，0），且雙曲線的c=$\frac{p}{2}$，
拋物線的焦點為準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得m+$\frac{p}{2}$=|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
即有m=c，n=$\sqrt{2pm}$=$\sqrt{4{c}^{2}}$=2c，
即P（c，2c），代入雙曲線的方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$=1，
即為e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化為e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$（3-2$\sqrt{2}$舍去），
可得e=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義和點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．