Question

2．如圖，AB是半圓O的直徑，P是半圓$\widehat{AB}$上的任意一點(diǎn)，M、N是AB上關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若|AB|=6，|MN|=4，則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 13

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P（3cosθ，3sinθ），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐標(biāo)，從而得出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，以AB為x軸，過O的AB的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
∵|AB|=6，∴圓O的半徑為3．不妨設(shè)P（3cosθ，3sinθ），
∵|MN|=4，∴M（-2，0），N（2，0）．
∴$\overrightarrow{PM}$=（-2-3cosθ，-3sinθ），$\overrightarrow{PN}$=（2-3cosθ，-3sinθ）．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（-2-3cosθ）（2-3cosθ）+9sin²θ=9cos²θ-4+9sin²θ=5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．