Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^ax-x，a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：函數(shù)的定義域是R，f′（x）=ae^ax-1，
（1）a≤0時，f′（x）≤0，f（x）在R遞減，
a＞0時，令f′（x）=0，解得：x=-$\frac{lna}{a}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{-lna}{a}$）遞減，在（-$\frac{lna}{a}$，+∞）遞增；
（2）由（1）a≥1時，-$\frac{lna}{a}$≤0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）沒有最小值，
0＜a＜1時，當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時，-$\frac{lna}{a}$≥$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（0，$\frac{1}{a}$）沒有最小值，
當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a＜1時，f（x）在（0，-$\frac{lna}{a}$）遞減，在（-$\frac{lna}{a}$，$\frac{1}{a}$）遞增，
故f（x）_min=f（-$\frac{lna}{a}$）=$\frac{lnea}{a}$，
綜上，a≥1或0＜a≤$\frac{1}{e}$時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上沒有最小值，
當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a＜1時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上有最小值為$\frac{lnea}{a}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．