Question

14．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=6，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的表面積為（　�。�

• A． 12π
• B． 24π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 過點P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，連接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，從而得到外接球的半徑R=OA，再用球的表面積公式可得該三棱錐外接球的表面積．

解答 解：過點P作PH⊥平面ABC于H，則AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影，
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=3，PH=PAsin60°=3$\sqrt{3}$，
設(shè)三棱錐外接球的球心為O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA=$\sqrt{3}$OA=6，
∴三棱錐外接球的半徑R=OA=2$\sqrt{3}$，
該三棱錐外接球的表面積為S=4πR²=4π×12=48π．
故選：D．

點評 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，在已知一條側(cè)棱與底面所成角的情況下求外接球的表面積，著重考查了直線與平面所成角的定義、球內(nèi)接多面體和球表面積的求法等知識，屬于中檔題．