如圖1,在直角梯形中,,,且.
現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,為的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:∥平面;
(2)求證:;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)
【解析】
試題分析:
(1)要證明線面平行,取中點(diǎn),連結(jié),其中線段BN在面BEC中,根據(jù)線面平行的判斷,只需要證明線段BN與AM平行即可,根據(jù)MN為所在線段的中點(diǎn),利用中位線定理即可得到MN平行且等于DC的一半,題目已知AB平行且等于DC的一半,則可以得到MN與AB平行且相等,即四邊形ABMN為平行四邊形,而AM與BN為該平行四邊形的兩條對(duì)邊,則AM與BN平行,即得到線段AM平行于面BEC.
(2)題目已知面ABCD與ADEF垂直且ED垂直于這兩個(gè)面的交線,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得線段ED垂直于面ABCD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得到BC垂直于ED,根據(jù)梯形ABCD為直角梯形和邊長(zhǎng)關(guān)系和勾股定理可以得到BC與BD垂直,即線段BC與面BED中兩條相交的線段ED,BD相互垂直,根據(jù)線面垂直的判斷即可得到線段BC垂直于面BED
(3)要求點(diǎn)面距離可以考慮利用三棱錐體積的等體積法,即分別以D點(diǎn)和E點(diǎn)作為頂點(diǎn)求解三棱錐D-BEC的體積,當(dāng)以E作為頂點(diǎn)時(shí),DE為高,三角形BCD為底面,求出高和底面積得到三棱錐的體積,當(dāng)D為頂點(diǎn),此時(shí),高為D到面BEC的距離,而三角形BEC為底面,利用三角形的勾股定理得到BE的長(zhǎng)度,求出三角形BEC的面積,利用三棱錐的體積公式即可得到D到面BEC的距離.
試題解析:
(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié).
在△中,分別為的中點(diǎn),
所以∥,且.
由已知∥,,
所以∥,且. 3分
所以四邊形為平行四邊形.
所以∥. 4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.021.png">平面,且平面,
所以∥平面. 5分
(2)在正方形中,.
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.026.png">平面,且平面平面,
所以平面.
所以. 7分
在直角梯形中,,,可得.
在△中,,
所以.
所以. 8分
所以平面. 10分
(3)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.043.png">平面,所以平面平面. 11分
過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),則平面
所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長(zhǎng)度 12分
在直角三角形中,
所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于. 14分
解法二:平面,所以
所以
12分
又,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
則,所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于. 14分
考點(diǎn):勾股定理線面平行,線面垂直等體積法
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A. B. C. D.
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A. B. C. D.
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已知以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中,有一個(gè)內(nèi)角為,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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A. B. C. D.
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