Question

海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天從0時(shí)至24時(shí)的時(shí)間x（單位：時(shí)）與水深y（單位：米）的關(guān)系表：

（1）請選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；
（2）一條貨輪的吃水深度（船體最低點(diǎn)與水面的距離）為12米，安全條例規(guī)定船體最低點(diǎn)與洋底間隙至少要有1.5米，請問該船何時(shí)能進(jìn)出港口？在港口最多能停留多長時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，據(jù)最大值與最小值的差的一半為A；最大值與最小值和的一半為h；通過周期求出ω，得到函數(shù)解析式．
（2）據(jù)題意列出不等式，利用三角函數(shù)的周期性及單調(diào)性解三角不等式求出t的范圍．

解答：解：（1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，考慮用函數(shù)y=h+Asin（ωx+φ）刻畫水深與時(shí)間之間的對應(yīng)關(guān)系．
從數(shù)據(jù)可以得出：A=3，h=12，T=12，φ=0．
由T=

2π

ω

=12，得ω=

π

6

．
所以這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用y=12+3sin

π

6

x，x∈[0，24]近似描述．

（2）貨船需要的安全水深為12+1.5=13.5，所以當(dāng)y≥13.5時(shí)就可以進(jìn)港．
令12+3sin

π

6

x≥13.5，∴sin

π

6

x≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

•x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
即12k+1≤x≤12k+5，k∈Z．
∵x∈[0，24]，∴1≤x≤5或13≤x≤17．
因此，貨船在1點(diǎn)至5點(diǎn)可以進(jìn)出港；或13點(diǎn)至17點(diǎn)可以進(jìn)出港．
每次可以在港口最多能停留4小時(shí)．

點(diǎn)評：本題考查通過待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用三角函數(shù)的單調(diào)性及周期性解三角不等式．