Question

10．直線l過點P（1，4），且分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)|OA|+|OB|最小時，求l的方程；
（2）若△AOB的面積最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，可以表示出直線l的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，由于直線l過點P（1，4），則有$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，分析可得|OA|+|OB|=a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+（$\frac{a}$+$\frac{4a}$），由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案；
（2）設(shè)△AOB的面積為S，則S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{ab}{2}$，又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，結(jié)合不等式的性質(zhì)分析可得ab的最小值以及等號成立的條件，由此條件分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)A的坐標(biāo)為（a，0），B的坐標(biāo)為（0，b），（a、b＞0），
則直線l的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，
由于直線l過點P（1，4），則有$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，
又由|OA|=a，|OB|=b，
則|OA|+|OB|=a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+（$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥5+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時等號成立，
又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，等號成立時b=2a=6，
此時直線的方程為$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{6}$=1，即2x+y-6=0，
（2）設(shè)△AOB的面積為S，則S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{ab}{2}$，
又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，則有1≥2$\sqrt{\frac{1}{a}×\frac{4}}$，變形可以化為ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)b=4a=8時取等號．
此時S=$\frac{ab}{2}$取得最小值，
l的方程為：4x+y-8=0．

點評 本題給出經(jīng)過定點的直線，求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知識，屬于中檔題．