已知函數(shù)．f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋cx的圖象都過點P(2，0)，且在點P處有公共切線．

(1)求f(x)和g(x)的表達式及在點P處的公切線方程；

(2)設(shè)，其中m＜0，求F(x)的單調(diào)區(qū)間．

答案：
解析：

　　(1)∵過點∴a＝－8，　　2分

　　∴切線的斜率　　3分

　　∵的圖像過點∴4b＋2c＝0，

　　∵，解得：b＝8，c＝－16　　5分

　　∴

　　切線方程為．即16x－y－32＝0　　7分

　　∵

　　　　9分

　　當(dāng)m＜0時，∵m＜0∴　　11分

　　又x＞1當(dāng)時

　　當(dāng)時　　12分

　　∴F(x)的單調(diào)減區(qū)間是

　　∴F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1，)　　13分

　　即m＜0時，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，單調(diào)減區(qū)間是(，)　　l4分


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[　　]

A．

B．

C．

D．

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若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點P、Q滿足條件：

①P、Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；

②P、Q關(guān)于原點對稱．

則稱點對[P，Q]是函數(shù)Y＝f(x)的一對“友好點對”(點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”)．已知函數(shù)，f(x)＝，則此函數(shù)的“友好點對”有

[　　]

A．0對

B．1對

C．2對

D．3對

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已知函數(shù)　f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。根據(jù)函數(shù)f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，從而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因為　f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．設(shè)φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，

 

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