Question

【題目】成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5．

（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（I）利用成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15可設(shè)三個數(shù)分別為5-d，5，5+d，代入等比數(shù)列中可求d，進(jìn)一步可求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)（I）及等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式可求，要證數(shù)列是等比數(shù)列即可

試題解析：（I）設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a﹣d，a，a+d

依題意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5

所以{bn}中的依次為7﹣d，10，18+d

依題意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）

故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2

由b3=b122，即5=4b1，解得

所以{bn}是以首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為 ……………6分

（II）數(shù)列{bn}的前和

即，所以，

因此{}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列 …………………12分