Question

設(shè)f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當(dāng)1，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)知：|x-1|+|x-2|-3＞0，分類討論解絕對(duì)值不等式，求出不等式的解集，即得函數(shù)f（x）的定義域．
（II）不等式f（x）≥0 即m≥．由1，可得 m≥1+．根據(jù)單調(diào)性求出y=1+  的最大值為 5，由此可得m≥5．
解答：解：（I）由題設(shè)知：|x-1|+|x-2|-3＞0，
∴ ①，或   ②，或 ③．
解①可得 x＞5，解②可得x∈∅，解③可得 x＜0．
不等式的解集是以下三個(gè)不等式組解集的并集，求得函數(shù)的定義域?yàn)?（-∞，0）∪（5，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x-1|+m|x-2|-3≥1，即 m≥．
∵1，∴m≥==1+，即 m≥1+．
由于函數(shù)y=1+ 在[1，]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，y 取得最小值為2；當(dāng)x=時(shí)，y 取得最大值為 5，
由題意可得，m大于或等于y的最大值 5，故m的取值范圍是[5，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于
中檔題．