Question

袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．
（Ⅰ）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．
（i）求恰好摸5次停止的概率；
（ii）記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布率及數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨立重復(fù)試驗，恰好摸5次停止表示第次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到結(jié)果．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止，隨機變量ξ的取值為0，1，2，3；由n次獨立重復(fù)試驗概率公式得到概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是3m，而滿足條件的是，根據(jù)古典概型公式得到關(guān)于P的方程，解方程即可．
解答：解：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨立重復(fù)試驗，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到
C₄²×××=．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止
∴隨機變量ξ的取值為0，1，2，3；
由n次獨立重復(fù)試驗概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅×=；
P（ξ=1）=C₅¹××=；
P（ξ=2）=C₅²××=；
P（ξ=3）=++=． 

隨機變量ξ的分布列是
∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=×0+×1+×2+×3=．

（Ⅱ）由題意知本題是一個古典概型，
設(shè)袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球．
試驗發(fā)生的所有事件是3m，
而滿足條件的是，
根據(jù)古典概型公式得到
=，
∴p=．
點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．